Equazioni che raccontano la Magia della Musica

Siamo tutti abituati a pensare alla matematica e alla fisica come a discipline fredde e razionali, che descrivono il mondo guardandolo con l’occhio distaccato dello scienziato. “Scienze pure”, le chiamiamo, quasi a ricordarci che null’altro sono se non quello. È facile allora immaginare la perplessità di molti mentre cerchiamo di rispondere alla domanda: si può scrivere un’emozione sotto forma di equazione?

Nel corso di Fundamentals of Acoustics, che rappresenta uno degli insegnamenti fondanti della Laurea Magistrale in Music and Acoustic Engineering al Politecnico di Milano, facciamo proprio questo, all’inizio di un’avventura che durerà due anni: ci equipaggiamo degli strumenti matematici e fisici necessari per raccontare come il suono, che quotidianamente ci emoziona con la musica, viene generato, modulato, diffuso e si propaga nell’ambiente fino a raggiungere le nostre orecchie (e da lì, lo sappiamo, la nostra mente e il nostro cuore, ma quella effettivamente è un’altra storia).

La suggestione di tutto ciò aumenta quando pensiamo che il suono si propaga sotto forma di onde: materia in movimento (le molecole dell’aria) che, come l’acqua con le onde del mare, trasporta il suono nell’aria a una velocità di circa 343 metri al secondo. Questa caratteristica “ondulatoria” del suono, che dunque non viaggia nello spazio come una palla da biliardo lanciata in linea retta, ma come un’oscillazione caratterizzata da “massimi” e “minimi”, è fondamentale per la comprensione di tutti i fenomeni acustici.

Prima di tutto, l’intensità di un suono (il suo “volume”) dipende dall’ampiezza di questa oscillazione, mentre la sua altezza (la “nota” ad esso associata) dipende dalla frequenza dell’onda, ovvero da quante oscillazioni avvengono in un secondo. Più la frequenza è alta, più il suono è acuto. L’orecchio umano, in generale, è in grado di percepire agevolmente frequenze che vanno da circa 20 a circa 20 000 oscillazioni al secondo (anche dette hertz, Hz). Per confronto, la tastiera di un pianoforte copre le note corrispondenti a frequenze da circa 30 Hz a circa 4 000 Hz. 

Se poi immaginiamo di avere uno strumento capace di “fotografare” un’onda sonora in un certo istante, potremo misurarne la distanza tra due massimi (o tra due minimi), anche detta lunghezza d’onda: più la frequenza di un suono è alta, più la sua lunghezza d’onda è corta (ad esempio, le lunghezze d’onda delle note prodotte dalla tastiera di un pianoforte vanno da circa 30 centimetri a circa 10 metri). 

Comprendere tutto questo significa anche capire che per generare un suono dobbiamo produrre una vibrazione, ed è questo il fenomeno alla base di qualunque strumento musicale: vibrano le corde della chitarra, vibrano quelle del pianoforte, vibra la colonna d’aria in un flauto o nelle canne di un organo, vibrano le pelli di un tamburo. La frequenza di queste vibrazioni determinerà la frequenza del suono prodotto. Ma è possibile visualizzare queste vibrazioni? Un esempio ancora di grande rilievo è quello del fisico tedesco Ernst Chladni, vissuto a cavallo tra il diciottesimo e il diciannovesimo secolo, che dedicò gran parte della sua vita a studiare la generazione e la propagazione del suono. Il più famoso dei suoi studi è legato alla cosiddetta “piastra di Chladni”, un esperimento nel quale si utilizza della sabbia molto fine per visualizzare i profili delle vibrazioni presenti su una piastra (esperienze di questo tipo possono essere fatte anche con la cassa di una chitarra, quella di un violino, o con qualunque strumento a percussione, tutti casi in cui l’emissione del suono passa anche attraverso la vibrazione di una superficie). Mentre la piastra vibra, la sabbia si muove caoticamente fino a quando non si deposita lungo alcune linee specifiche lungo le quali non è presente alcuna vibrazione (i cosiddetti nodi). Aspettando un tempo sufficientemente lungo, tutta la sabbia si posiziona lungo i nodi disegnando i contorni delle regioni vibranti. Più la frequenza di vibrazione è elevata, più il numero di nodi (meglio, di linee nodali) sulla superficie aumenta. 

Infine, parlare del suono come onda ci porta inevitabilmente a parlare di interferenza, una proprietà tipica dei fenomeni ondulatori che si manifesta quando due onde della stessa frequenza (e dunque della stessa lunghezza d’onda) si incontrano. Quando ciò avviene, in un certo punto dello spazio può accadere che le due onde sovrappongano i rispettivi massimi, rafforzandosi dunque a vicenda e portando a un aumento dell’intensità, ma anche che il massimo di una si sovrapponga al minimo dell’altra, dando luogo a una reciproca cancellazione. Questo principio di base relativamente semplice raggiunge livelli anche di grande complessità quando si considera una stanza o una sala da concerto, nelle quali ogni onda sonora può raggiungere l’ascoltatore sia direttamente sia dopo essere stata riflessa da una delle pareti, interferendo dunque con sé stessa. Una progettazione acustica accurata dell’ambiente e dell'impianto di riproduzione dovrà fare in modo che questi fenomeni vengano ridotti al minimo, per garantire ai vari ascoltatori una percezione dell’intensità delle varie note che sia la più fedele possibile a quella originariamente generata dalla sorgente (ad esempio, dall’orchestra).

 

Questo, e molto altro, costituisce il programma del corso di Fundamentals of Acoustics, che unendo il rigore del linguaggio matematico alla capacità predittiva dei modelli fisici vuole fornire le basi, insegnare il linguaggio necessario ad affrontare gli argomenti più avanzati dei corsi successivi, quali l’acustica degli strumenti musicali, la progettazione di dispositivi elettroacustici, la modellizzazione numerica del suono e l’elaborazione dei segnali musicali. Equazioni, senza le quali non potremmo descrivere la magia della musica.

 

Paolo Biagioni

Docente di Fundamentals of Acoustics

Dipartimento di Fisica

Politecnico di Milano